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分形几何学—审视世界的新视角:数学之美  

2012-03-31 19:34:45|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客
 
20世纪70—80年代,产生了一门新的数学分支——分形几何学

     分形艺术的英文表述:fractal art,不规则几何元素Fractal,是由IBM研究室的数学家曼德布洛特(Benoit.Mandelbrot,1924-2010)提出。

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 一、  什么是分形几何? 

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 稍微有点数学常识的人都知道,人们习惯把空间看成是3维的,平面或球面看成是2维的,而把直线或曲线看成是1维的。那么,有没有介于2和3之间的维数呢?比如2.168维是什么?或者说,在2维平面和3维空间之间充斥了什么东西?这确实是一个十分有趣的问题。 “分形几何学”就是研究这个问题的。

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 分形几何学起先是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的,由此发展起来的分形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支,在众多学科领域里有着广泛的应用。它的研究对象是不光滑的、不规则的,甚至支离破碎的空间几何形态。

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 通俗一点说分形几何学就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。  

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  二、分形几何学是描述大自然的科学

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   一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈,在形状上没什么大的区别,大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。

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动物也不例外,一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面,您无论怎样放大其局部,它都如此粗糙不平等等。再例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这些例子在我们的身边到处可见。
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 人类智慧从观察某些事物入手,像立体派画家那样做观察。“云团不是球形,山峦不是锥形,海岸线不是圆的,树皮不是光的,闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状,它们是自相似的。换言之,我们发现,把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构,它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品。 
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    在某些电化学反应中,电极附近成绩的固态物质,以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的沉积而生长,成为带有许多须须毛毛的枝条状,就可以用分形。

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   三、分形几何学的用途

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 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续,但又处处无导数的曲线。分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

   现在,分形几何被用来描述各种复杂现象。分形还能帮助我们理解湍流,了解它如何产生以及自身的运动情况。

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血管也可以认为是分形,因为它们可以被逐步细分成无限小的部分。它们进行所谓的“空间魔术”,将大的平面区域挤压成有限的体积。

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 肺部和消化系统也是一种分形。

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 从金属表面的分形维我们可以看出它的强度。

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 全球有数百万人在观看分形数学——当他们坐着看完《星球大战》三部曲时——而他们自己并不知情。电影中外星球的地形就是在计算机里利用分形制作出来的。实际上,分形现在已成为电影特技的一个重要组成部分。

分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

分形几何学可精确识别癌细胞。 美国克拉克森大学的研究人员发现,与健康细胞相比,癌细胞在外观上具有更为显著的分形特征。初步实验显示,以此为依据的检测均获得了极高的准确度。分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

他们还计划对健康细胞在癌变过程中的分形特征展开研究。

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 四、分形搭起了科学与艺术的桥梁。

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  分形混沌之旋风,横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科,在音乐、美术间也产生了一定的影响。

数学之美:分形几何学—审视世界的的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 

分形艺术不再仅仅是揭示一类存在,而是一种艺术创作,用数学方法对放大区域进行着色处理,这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案。
分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

  分形使人们觉悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美上的统一,使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理,而是具体的感受;分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。

分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

“分形艺术”以一种全新的艺术风格展示给人们,使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。她是科学上的美和美学上的美的有机结合。

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 同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性,即画面的局部与更大范围的局部的对称,或说局部与整体的对称。 这种对称不同于欧几里德几何的对称,而是大小比例的对称,即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。

分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

  分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征,“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。

分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 

普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作,创作者要有很深的美术功底。
分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 

而“分形艺术”是用数学的手段进行创作, 作者要有很深的数学功底,同时要有色彩和造型方面的基本认识。
分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

  随着研究的广泛深入,分形艺术的外延已经不只局限于复数迭代产生的图象了,  放大图片的时候能在不丢失细节的前提下显现更多的细节层次,分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。

分形几何学—认识自然界和人类社会的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 即使那些不了解分形科学的局外人和旁观者,偶尔涉猎到分形图案,也会被其美丽的几何形状、精致的图案结构以及迷人的色彩所打动,借助电脑、互联网,我们能欣赏到更多的分形艺术。

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五、整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。

数学之美:分形几何学—审视世界的的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。数学之美:分形几何学—审视世界的的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 分形是研究复杂性科学的一个起始点,复杂性科学自上世纪70 年代诞生以来,经历了蓬勃的发展。数学之美:分形几何学—审视世界的的新视角 - 探海石 - 李伊迅的博客

 一个复杂自适应系统(如软物质,生物体,社会模型等等)必然存在更多的自相似性。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。

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